「カスタマーサービスに使用していた各種部品の在庫は、A社の責任において処分する。」という一文を英訳するなら、

Any and all inventories of various types of spare parts currently being used for customer services will be dealt with by A-company.

ではなく、

Handling of inventories of various types of spare parts that were being used for customer services will be the responsibility of A company.

と訳すのが適切です。この例における「処分する」については、一次翻訳者が使用した未来形が妥当ですが、「使用していた」については、「currently being used」ではなく、「that were being used」という過去進行時制を使用すべきです。ただし、「that have been used」という現在完了形も許容範囲です。